Jokke Häsä & Johanna Rämö: Johdatus abstraktiin algebraan

Algebra on laskutoimitusten teoriaa. Tässä teoksessa esitellään nykyaikaisen abstraktin algebran peruskäsitteet ja niiden lainalaisuudet. Teos lähtee liikkeelle laskutoimitusten yleistämisestä lukualueiden ulkopuolelle ja johdattaa lukijan erilaisten laskusääntöjen määrittämien algebrallisten rakenteiden maailmaan. Esitystapa perustuu perinteiseen jaotteluun, jossa algebrallisista rakenteista esitellään ryhmät, renkaat ja kunnat. Sisältöä on elävöitetty runsailla esimerkeillä, kuvilla ja harjoitustehtävillä. Lukija huomaa pian laskevansa yhteen niin lukuja ja kirjaimia kuin hedelmiä tai erilaisia korttipakan sekoitustapoja.

Johdatus abstraktiin algebraan on tarkoitettu yliopiston ensimmäisen algebran kurssin oppikirjaksi, mutta se sopii myös lukemistoksi matematiikan harrastajalle. Esitietoina vaaditaan ainoastaan koulumatematiikan tuntemusta sekä valmiutta työskennellä abstraktien käsitteiden parissa.

Kirjan korjausliuska

Corrigenda: Johdatus abstraktiin algebraan

Sisällys

I Laskutoimitukset

1. Työkalu: joukot ja kuvaukset
1.1. Joukko
1.2. Joukko-operaatiot
1.3. Perusjoukko ja potenssijoukko
1.4. Karteesinen tulo
1.5. Kuvaus
1.6. Kuvauksen määrittelemisestä
1.7. Kuva ja alkukuva
1.8. Kuvaukset karteesiselta tulolta
1.9. Injektiot, surjektiot ja bijektiot
1.10. Yhdistetty kuvaus
1.11. Identtinen kuvaus ja käänteiskuvaus

2. Laskutoimitus
2.1. Liitännäisyys ja vaihdannaisuus
2.2. Neutraali- ja käänteisalkiot
2.3. Laskutoimitustaulu

3. Ryhmä
3.1. Esimerkkejä ryhmistä
3.2. Merkintätavoista
3.3. Potenssi
3.4. Lisätieto: monoidit ja puoliryhmät
3.5. Ryhmien laskutoimitustaulut
3.6. Aliryhmä

4. Permutaatioryhmät
4.1. Permutaatio
4.2. Symmetrinen ryhmä
4.3. Syklit
4.4. Ryhmä S3

II Ryhmien teoriaa

5. Ryhmien isomorfia
5.1. Kertotaulujen vertailua
5.2. Kolmi- ja nelialkioiset ryhmät
5.3. Isomorfismi
5.4. Isomorfismin ominaisuuksia
5.5. Epäisomorfisista ryhmistä

6. Virittäminen
6.1. Yhden alkion virittämä aliryhmä
6.2. Kertaluku
6.3. Useamman alkion virittämä aliryhmä
6.4. Lisätieto: aliryhmän virittäminen leikkauksen avulla

7. Työkalu: lukuteoriaa
7.1. Jaollisuus
7.2. Suurin yhteinen tekijä
7.3. Eukleideen algoritmi
7.4. Alkuluvut
7.5. Kongruenssi
7.6. Kongruensseilla laskeminen

8. Sykliset ryhmät
8.1. Esimerkki: jäännösluokkaryhmä Zn
8.2. Esimerkki: ykkösen juuret
8.3. Syklisten ryhmien isomorfisuus
8.4. Syklisen ryhmän aliryhmät
8.5. Äärellisen syklisen ryhmän aliryhmät

9. Työkalu: ekvivalenssirelaatio
9.1. Relaatio
9.2. Ekvivalenssirelaatio
9.3. Ekvivalenssiluokat
9.4. Ositus

10. Sivuluokat ja Lagrangen lause
10.1. Sivuluokat
10.2. Esimerkkejä sivuluokista
10.3. Lagrangen lause

11. Symmetriaryhmistä
11.1. Erilaisia symmetrioita
11.2. Kolmion symmetriaryhmä
11.3. Neliön symmetriaryhmä

III Renkaat

12. Rengas
12.1. Esimerkkejä renkaista
12.2. Renkaan laskusääntöjä
12.3. Kokonaisluvut renkaan alkioina
12.4. Alirengas

13. Kunta
13.1. Yksiköt
13.2. Kunta ja alikunta

14. Kokonaisalue
14.1. Yhteys kuntiin
14.2. Karakteristika

IV Tekijärakenteet

15. Tekijäryhmä
15.1. Sivuluokkien laskutoimitus
15.2. Normaali aliryhmä
15.3. Tekijäryhmän määritelmä
15.4. Aliryhmän normaalisuusehtoja
15.5. Toinen lähestymistapa

16. Tekijärengas
16.1. Ideaali
16.2. Tekijärenkaan määritelmä

17. Ideaalien teoriaa
17.1. Virittäminen
17.2. Kunnat ja maksimaaliset ideaalit

V Homomorfismit

18. Ryhmähomomorfismi
18.1. Homomorfismin ominaisuuksia
18.2. Homomorfismin ydin

19. Rengashomomorfismi
19.1. Rengashomomorfismin määritelmä
19.2. Rengashomomorfismien ominaisuuksia
19.3. Rengashomomorfismin ydin

20. Homomorfialauseet
20.1. Isomorfismien tuottaminen ryhmähomorfismeista
20.2. Ryhmien homomorfialause
20.3. Renkaiden homomorfialause

VI Polynomit

21. Polynomirengas
21.1. Polynomin käsite
21.2. Polynomin määritelmä
21.3. Polynomin aste
21.4. Polynomiin sijoittaminen

22. Polynomien jaollisuudesta
22.1. Jaollisuus
22.2. Polynomin juuret

Liitteet
A. Kreikkalaiset aakkoset
B. Matriisit
C. Kompleksiluvut
D. Alternoiva ryhmä
E. Polynomeihin liittyviä todistuksia
Kirjallisuutta
Hakemisto

• G.W. Leibniz: Filosofisia tutkielmia